Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁與a₄的等比中項，且a₄-a₁=6；在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，設c_n=

1

(an+2)lgbn2

，則數(shù)列{c_n}的前n項和T_n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件利用等差數(shù)列通項公式和等比中項性質(zhì)求出a_n=2n，由此得到b₁=2，b₃=8，再由q＞0從而求出b_n和c_n，利用裂項求和法能求出T_n的最小值．

解答： 解：因為等差數(shù)列{a_n}中，a₄-a₁=6，所以公差d=

a4-a1

4-1

=2，
又a₂是a₁與a₄的等比中項，所以（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
即（a₁+2）²=a₁（a₁+6），解得a₁=d=2，或d=0（舍去），
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n，
在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，
所以b₁=2，b₃=8，則q2=

b3

b1

=4，解得q=2，
則b_n=b1•2n-1=2ⁿ，
所以c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

(2n+2)lg22n

=

1

4lg2

•

1

n(n+1)

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，
則數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=

1

4lg2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4lg2

(1-

1

n+1

)，
因為T_n=

1

4lg2

(1-

1

n+1

)隨著n的增大而增大，
所以當n=1時，T_n取最小值是

1

8lg2

，
故答案為：

1

8lg2

．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，等比中項性質(zhì)，以及數(shù)列的前n項和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．