Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：ED⊥BC；
（Ⅱ）記CD=x，當三棱錐F-ABD的體積V（x）取得最大值時，求直線EB與平面DBF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明ED⊥平面ABCD，即可證明ED⊥BC；
（Ⅱ）求出三棱錐F-ABD的體積V（x），利用基本不等式求最值，再建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求得直線EB與平面DBF所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在正方形ADEF中，有ED⊥AD．
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴ED⊥BC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ED⊥平面ABCD，
∵ED∥AF，
∴AF⊥平面ABCD，
在平行四邊形ABCD中，CD⊥DB，BC=2，CD=x，
∴DB=

4-x2

，
∴S_△ABD=

1

2

•x•

4-x2

，
∵FA=2，
∴V_F-ABD=

1

3

x•

4-x2

≤

1

3

( x2+4-x2 2 )2

=

2

3

，
當且僅當x=

4-x2

，即x=

2

，即CD=

2

時，V_F-ABD的最大值為

2

3

．
建立如圖所示的坐標系，則E（0，0，2），B（0，

2

，0），F(xiàn)（-

2

，

2

，2），則

EB

=（0，

2

，-2），

DB

=（0，

2

，0），

DF

=（-

2

，

2

，2），
設(shè)平面DBF的法向量為

n

=（x，y，z），則

2 y=0 - 2 x+ 2 y+2z=0

，
令x=

2

，則

n

=（

2

，0，1），則
設(shè)直線EB與平面DBF所成角為θ，∴sinθ=|cos＜

n

，

EB

＞|=|

-2

3 × 6

|=

2

3

．

點評：本題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線面垂直的判定及簡單組合體體積的計算，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．