Question

12．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$夾角為（　�。�

• A． $\frac{5}{6}π$
• B． $\frac{2}{3}π$
• C． $\frac{1}{6}π$
• D． $\frac{1}{3}π$

Answer 1

分析 根據(jù)條件利用平方法得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，然后根據(jù)向量數(shù)量積的應用求夾角即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴平方得|$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$|²=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{a}$|²=-$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2×\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{5}{6}π$，
故$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$夾角為$\frac{5}{6}π$，
故選：A

點評 本題主要考查向量夾角的計算，根據(jù)向量數(shù)量積的應用是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．