已知函數(shù)f(x)=
2
asin(x+
π
4
)+a+b.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)的值域是[3,4],求a、b的值.
分析:(1)求得f(x)=
2
sin(x+
π
4
)+1+b,令2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,求得x的范圍,可得f(x)的單調(diào)
遞增區(qū)間.
(2)由(1)得f(x)=
2
asin(x+
π
4
)+a+b,由x∈[0,π],可得-
2
2
≤sin(x+
π
4
)≤1.顯然a≠0,
分①當(dāng)a>0時(shí)和②當(dāng)a<0時(shí) 兩種情況,分別根據(jù)f(x)的值域,求得a、b的值.
解答:解:(1)∵a=1,∴f(x)=
2
sin(x+
π
4
)+1+b,
∵y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z),
∴當(dāng)2kπ-
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
π
2
,…(4分)
即2kπ-
4
≤x≤2kπ+
π
4
(k∈Z)時(shí),f(x)是增函數(shù),
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-
4
,2kπ+
π
4
](k∈Z). …(6分)
(2)由(1)得f(x)=
2
asin(x+
π
4
)+a+b,
∵x∈[0,π],∴
π
4
≤x+
π
4
4
,∴-
2
2
≤sin(x+
π
4
)≤1.…(8分)
顯然a≠0,①當(dāng)a>0時(shí),-a≤
2
asin(x+
π
4
)≤
2
a
,∴b≤f(x)≤(
2
+1)a+b
,
而f(x)的值域是[3,4],故∴b=3,(
2
+1)a+b=4
,
解得:a=
2
-1,b=3
;…(11分)
②當(dāng)a<0時(shí),a≤
2
asin(x+
π
4
)≤-
2
a
2
a+a+b≤f(x)≤b,而f(x)的值域是[3,4],
故有,
2
a+a+b=3,且b=4,解得a=1-
2
,b=4.
綜上可得,a=
2
-1,b=3
;或a=1-
2
,b=4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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1
x
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