Question

11．已知圓M：x²+（y-2）2=1，設(shè)點(diǎn)B，C是直線(xiàn)l：x-2y=0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t+4（t∈R），點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上，過(guò)P點(diǎn)作⊙M的切線(xiàn)PA，切點(diǎn)是A．
（1）若t=0，|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，求直線(xiàn)PA的方程；
（2）若經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，求|$\overrightarrow{DO}$|的最小值；
（3）在（2）的條件下，$\overrightarrow{DO}$²的最小值為g（t），若在區(qū)間[-6，0]上任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)能使函數(shù)y=g（t）-$\frac{4}{5}$存在無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，因?yàn)镻在直線(xiàn)l上，所以設(shè)P的坐標(biāo)為（a，2a），然后由M和P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出MP的長(zhǎng)，根據(jù)|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐標(biāo)，設(shè)過(guò)P點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率為k，根據(jù)P的坐標(biāo)和斜率k寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離公式等于半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心M到切線(xiàn)方程的距離d，讓d等于圓的半徑r，即可得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫(xiě)出直線(xiàn)PA的方程即可；
（2）D的軌跡為x-2y+2=0，此軌跡與l平行，所以|$\overrightarrow{DO}$|最小值為兩平行直線(xiàn)間的距離；
（3）可得DO²=f（a）=${a}^{2}+（\frac{a}{2}+1）^{2}$=$\frac{5}{4}（a+\frac{2}{5}）^{2}+\frac{4}{5}$，a∈[$\frac{t}{2}$，$\frac{t+4}{2}$]，分三種情況，利用二次函數(shù)的圖象即可求出函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由圓M：x²+（y-2）²=1，得到圓心M（0，2），半徑r=1，
設(shè)P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(jìn)（0，2），|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（2a）^{2}+（a-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
解得a=1或a=-$\frac{1}{5}$（舍去）．
∴P（2，1）．由題意知切線(xiàn)PA的斜率存在，設(shè)斜率為k．
所以直線(xiàn)PA的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直線(xiàn)PA與圓M相切，
∴$\frac{|-2-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直線(xiàn)PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）設(shè)P（2a，a）（t≤2a≤t+4），
因?yàn)镻A切⊙M，所以PA⊥MA，
所以D是MP的中點(diǎn)，
設(shè)D（x，y），易知$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{a+2}{2}}\end{array}\right.$，
所以D的軌跡為x-2y+2=0，此軌跡與l平行，
所以|$\overrightarrow{DO}$|最小值為兩平行直線(xiàn)間的距離，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）由題意，D的坐標(biāo)是（a，$\frac{a}{2}$+1）．
可得DO²=f（a）=${a}^{2}+（\frac{a}{2}+1）^{2}$=$\frac{5}{4}（a+\frac{2}{5}）^{2}+\frac{4}{5}$，a∈[$\frac{t}{2}$，$\frac{t+4}{2}$]．
當(dāng)$\frac{t}{2}$＞-$\frac{2}{5}$，即t＞-$\frac{4}{5}$時(shí)，f（a）_min=$\frac{5}{16}{t}^{2}+\frac{t}{2}$+1；
當(dāng)$\frac{t}{2}≤-\frac{2}{5}≤\frac{t}{2}+2$，即-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$時(shí)，f（a）_min=$\frac{4}{5}$；
當(dāng)$\frac{t}{2}+2＜-\frac{2}{5}$，即t＜-$\frac{24}{5}$時(shí)，f（a）_min=$\frac{15}{16}{t}^{2}$+3t+8

所以線(xiàn)段DO長(zhǎng)的最小值為：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{16}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+1，t＞-\frac{4}{5}}\\{\frac{4}{5}，-\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}}\\{\frac{5}{16}{t}^{2}+3t+8，t＜-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$；
令g（t）=$\frac{4}{5}$，-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$，有無(wú)窮多個(gè)解，
當(dāng)g（t）＞$\frac{4}{5}$時(shí)，有兩解，
當(dāng)g（t）＜$\frac{4}{5}$時(shí)無(wú)解；
所以y=g（t）-$\frac{4}{5}$存在無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)的t的取值范圍是-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$，
所以P=$\frac{-\frac{4}{5}-（-\frac{24}{5}）}{0-（-6）}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線(xiàn)與圓相切，求切線(xiàn)的方程并求線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值．著重考查了圓的方程、直線(xiàn)的方程、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．