Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，且∠A₁AB=∠A₁AC，點A₁到底面ABC的距離等于點A₁到側(cè)面B₁BCC₁的距離的2倍，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥側(cè)面B₁BCC₁于E，根據(jù)∠A₁AB=∠A₁AC可知D在∠BAC的平分線上，根據(jù)△ABC是正三角形，進而可知AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，進而可知AA₁⊥BC，進而根據(jù)AA₁∥BB₁，推斷BB₁⊥BC，分別以三角形為底，A₁D為高和面B₁BCC₁為底A₁E為高求得三棱柱的體積建立等式求得，進而求得答案．
解答：解：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥側(cè)面B₁BCC₁于E，
∵∠A₁AB=∠A₁AC
∴D在∠BAC的平分線上，
又∵△ABC是正三角形，
∴AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AA₁∥BB₁，BB₁⊥BC，
由題意得V=S_△ABC•A₁D=BC²•2A₁E=S_矩形B1BCC1•A₁E=BC•BB₁•A₁EA
∴=
故答案為
點評：本題主要考查了點、線、面間的距離計算．解題的關鍵是利用了體積法．體積法就是構(gòu)造三棱錐，把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，利用三棱錐的體積的不變性列方程求解．