Question

6．某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z=0.2y-x．根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：
（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為，$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據散點圖，即可判斷出；
（Ⅱ）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關于w的線性回歸方程，根據公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，
（ii）求出預報值得方程，根據函數的性質，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程，由于d=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當x=49時，年銷售量y的預報值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預報值z=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據（Ⅱ）的結果可知，年利潤z的預報值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8時，年利潤的預報值最大．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題．