Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

ax

，其中a＞0
（1）判斷并證明y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在x₀，使f（x₀=x₀），則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值，并求出不動(dòng)點(diǎn)x₀；
（3）若存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷；
（2）令x=

x-a

ax

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，令判別式等于0即可求出a的值；
（3）要存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立，只需f（x）-x的最大值大于0即可，然后利用參變量分離，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

x-a

ax

=

1

a

-

1

x

，
對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-（

1

a

-

1

x2

）=

x1-x2

x1x2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）解：令x=

x-a

ax

⇒ax²-x+a=0，
令△=1-4a²=0解得a=

1

2

（負(fù)值舍去）
將a=

1

2

代入ax²-x+a=0得

1

2

x²-x+

1

2

=0解得x₀=1
（3）存在x∈[

1

2

，3]使f（x）＞x成立即存在x∈[

1

2

，3]使f（x）=

x-a

ax

＞x，
即存在x∈[

1

2

，3]使得ax²-x+a＜0即a＜

1

x+ 1 x

∴a＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和基本不等式的應(yīng)用．考查計(jì)算能力和綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．