Question

18．已知a＞0，b＞0．且2a+b=1，求S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值．

Answer 1

分析 方法一：利用配方法化簡S=4（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$，再根據(jù)基本不等式求出0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
方法二：利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0．且2a+b=1，
∴S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²=2$\sqrt{ab}$-（2a+b）²+4ab=2$\sqrt{ab}$+4ab-1=4（$\sqrt{ab}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{5}{4}$，
∵a+2b=1，
∴2$\sqrt{2ab}$≤1，
∴0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當且僅當a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時，等號成立，
∴當$\sqrt{ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$有最大值，最大值為2×$\frac{\sqrt{2}}{4}$+4×$\frac{1}{8}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
方法二：a＞0，b＞0．且2a+b=1，
∴S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2ab}$-[（2a）²+b²]≤$\sqrt{2}$•$\frac{2a+b}{2}$-$\frac{（2a+b）^{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
故S=2$\sqrt{ab}$-4a²-b²的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的最值的求法及應(yīng)用，同時考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．