【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx,其中a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(I)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)若a=1時(shí),f(x)=3x﹣2x2+lnx,定義域?yàn)椋?,+∞) = (x>0
令f'(x)>0,得x∈(0,1),令f'(x)<0,得x∈(1,+∞),
函數(shù)f(x)=3x﹣2x2+lnx單調(diào)增區(qū)間為(0,1),
函數(shù)f(x)=3x﹣2x2+lnx單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅱ). ,
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),
即 在[1,2]
或 恒成立.
或
即 或 在[1,2]恒成立.
即 或
令 ,因函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.
所以 或 或 ,解得a<0或 或a≥1
【解析】(I)由a=1得f(x)的解析式,求導(dǎo),令f′(x)>0,令f′(x)<0分別得出x的取值范圍,即f(x)的單調(diào)區(qū)間;(II)由函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù),得f′(x)≥0或f′(x)≤0,分離出a,把右邊看為函數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性得最值,得關(guān)于a的不等式,求解得a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f′(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式 (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)
C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
D.(3,+∞)
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【題目】已知橢圓Γ: =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(2 ,0),且橢圓Γ上一點(diǎn)M到其兩焦點(diǎn)F1 , F2的距離之和為4 .
(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A,B,且|AB|=3 .若點(diǎn)P(x0 , 2)滿足| |=| |,求x0的值.
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【題目】設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn , 令an=lgxn , 則a1+a2+…+a99的值為 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣1+ (a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅲ)當(dāng)a=1的值時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒(méi)有公共點(diǎn),求k的最大值.
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【題目】有4個(gè)不同的球,4個(gè)不同的盒子,把球全部放入盒子內(nèi).
(1)共有幾種放法?
(2)恰有1個(gè)空盒,有幾種放法?
(3)恰有2個(gè)盒子不放球,有幾種放法?
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【題目】如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.
(1)求證:平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)若E , F分別是AA1 , CC1的中點(diǎn),求證:平面EB1D1∥平面FBD.
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