Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ， 記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關于x的方程F（x）﹣m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）
由，可解得﹣1＜x＜1，
所以函數(shù)F（x）的定義域為（﹣1，1）
令F（x）=0，則…（*）
方程變?yōu)?/span>，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=﹣3，經(jīng)檢驗x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0
即函數(shù)F（x）的零點為0．
（2）方程可化為m=
=，
故，設1﹣x=t∈（0，1]
函數(shù)y=t+在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
當t=1時，此時x=0，ymin=5，所以am≥1
①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，
故當a＞1時，實數(shù)m的取值范圍為：m≥0，
當0＜a＜1時，實數(shù)m的取值范圍為：m≤0
【解析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定義域，令F（x）=0，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解得x的值，注意驗證即可；
（2）方程可化為 ， 設1﹣x=t∈（0，1]，構(gòu)造函數(shù)y=t+ ， 可得單調(diào)性和最值，進而可得嗎的范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的零點與方程根的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點．