(2012•西區(qū)模擬)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,F(xiàn)為橢圓的右焦點,M、N兩點在橢圓C上,且
MF
FN
(λ>0)
,定點A(-4,0).
(1)求證:當λ=1時,
MN
AF
;
(2)若當λ=1時,有
AM
AN
=
106
3
,求橢圓C的方程.
分析:(1)設M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)(c,0)通過λ=1時,
MF
=
FN
,M、N兩點在橢圓上,求出x1 =x2 ,然后通過數(shù)量積證明
MN
AF

(2)當λ=1時,不妨設M(c,
b2
a
),N(c,-
b2
a
),通過λ=1時,有
AM
AN
=
106
3
,求出a,b,得到橢圓的方程.
解答:解:(1)證明:設M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)(c,0)
MF
=(c-x1,-y1)
,
FN
=(x2-c,y2)
,
當λ=1時,
MF
=
FN
∴-y1=y2,x1+x2=2c,
由M、N兩點在橢圓上,
x12=a2(1-
y12
b2
)
,x22=a2(1-
y22
b2
)

x12=x22
x1 =-x2 ,則x1 +x2 =0≠2,(舍去),
所以x1 =x2 ,
MN
=(0,2y2)
AF
=(4+c,0)

MN
• 
AF
=0
,
MN
AF

(2)當λ=1時,不妨設M(c,
b2
a
),N(c,-
b2
a
),
AM
AN
=(c+4)2-
b4
a 2
106
3
,
因為a2=
3
2
c2
b2=
1
2
c2
,
5
6
c2+8c+16=
106
3

∴c=2,a2=6,b2=2,
故橢圓的方程為
x2
6
+
y2
2
=1
點評:本題考查橢圓的簡單性質,向量在幾何中的應用,橢圓的標準方程,考查函數(shù)與方程的思想,計算能力.
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a
,
b
是兩個互相垂直的單位向量,且
c
a
=
c
d
=1
,|
c
|=
2
,則對任意的正實數(shù)t,|
c
+t
a
+
1
t
b
|
的最小值(  )

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1
2
4)=-3,則a
的值為( 。

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3
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2
2
sin2x+
6
2
cox2x
的圖象如右平移
π
4
個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(
π
4
)
的值為( 。

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