Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓C與圓D：x²+（y+1）²=4有公共點(diǎn)，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
（2）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的方程，利用圓C與圓D：x²+（y+1）²=4有公共點(diǎn)，可得不等式，即可求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
（2）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；

解答 解：（1）∵圓C的圓心在在直線l：y=x-1上，所以，設(shè)圓心C為（a，2a-4）
則圓C的方程為：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1（2分）
因?yàn)閳AC與圓D有公共點(diǎn)，所以1≤$\sqrt{{a}^{2}+[（2a-4）-（-1）]^{2}}$≤3，
解得，a的取值范圍為：[0，2.4]（5分）
（2）解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得圓心C為（3，2），∵圓C的半徑為1，
∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1（8分）
若k不存在，不合題意；
若k存在，設(shè)切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
則所求切線為y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3（12分）

點(diǎn)評 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．