已知函數(shù)f(x)=
x-1
ex
(x∈R)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)已知函數(shù)y=g(x)對(duì)任意x滿足g(x)=f(4-x),證明:當(dāng)x>2時(shí),f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>4.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得即可;
(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷且單調(diào)性得h(x)在(2,+∞)上是增函數(shù),故h(x)>h(2)=0,即可得證;
(3)利用(1)(2)的結(jié)論即可得出結(jié)論.
解答: 解:f(x)=
x-1
ex
(x∈R)
(1)f'(x)=
ex-(x-1)ex
e2x
=
2-x
ex

∴x<2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;x>2時(shí)f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的極大值=f(2)=
1
e2

(2)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=
x-1
ex
-
3-x
e4-x
,
則h'(x)=
2-x
ex
+
x-2
e4-x
=
(x-2)(ex-e4-x)
e4
,
當(dāng)x>2時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)>h(2)=0,
∴f(x)>g(x).
(3)由(1),不妨設(shè)x1<2<x2,則4-x2<2,
∴由(2)得f(x1)=f(x2)>f(4-x2),
又由(1)得,x<2時(shí),f(x)單調(diào)遞增,
∴x1>4-x2
∴x1+x2>4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值最值的知識(shí),以及通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立問(wèn)題,屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),與點(diǎn)O(0,0)距離為1,且與點(diǎn)B(-3,4)距離為4的直線條數(shù)共有( 。
A、1條B、2條C、3條D、4條

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示的多面體中,ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2
2

(Ⅰ)求證:AE⊥CF;
(Ⅱ)求二面角A-FC-E的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為了解當(dāng)前國(guó)內(nèi)青少年網(wǎng)癮的狀況,探索青少年網(wǎng)癮的成因,中國(guó)青少年網(wǎng)絡(luò)協(xié)會(huì)調(diào)查了26個(gè)省會(huì)城市的青少年上網(wǎng)情況,并在已調(diào)查的青少年中隨機(jī)挑選了100名青少年的上網(wǎng)時(shí)間作參考,得到如下的統(tǒng)計(jì)表格.平均每天上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)2個(gè)小時(shí)可視為“網(wǎng)癮”患者.
時(shí)間(單位:小時(shí)) [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] (6,12]
人數(shù) 52 23 10 5 4 4 2
(Ⅰ)以該100名青少年來(lái)估計(jì)中國(guó)青少年的上網(wǎng)情況,則在中國(guó)隨機(jī)挑選3名青少年,求至少有一人是“網(wǎng)癮”患者的概率;
(Ⅱ)以該100名青少年來(lái)估計(jì)中國(guó)青少年的上網(wǎng)情況,則在中國(guó)隨機(jī)挑選4名青少,記X為“網(wǎng)癮”患者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=x-
x3
6

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(
π
4
,f(
π
4
))處的切線方程;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0時(shí),x>f(x)>g(x).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓C:x2+y2-2x+4y+m=0.
(1)若直線x+2y-4=0與這個(gè)圓相交于M,N兩點(diǎn),且CM⊥CN(C為圓心),求m的值;
(2)當(dāng)m=-4,是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說(shuō)明理由;
(3)若直線l:y=kx與(2)中的圓C交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)M(0,a)滿足MP⊥MQ,若k>3時(shí),求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=2(1+sinx)sinx+(sinx+cosx)(cosx-sinx)
(1)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式;
(2)已知常數(shù)ω>0,若y=f(ωx)在區(qū)間[-
π
2
,
3
]上是增函數(shù),求ω的取值范圍;
 (3)設(shè)集合A{x|
π
6
≤x≤
3
},B={x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

方程sinx=sin2x的解集是:
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a>b>0,m=
a-b
,n=
a
-
b
,則m,n的大小關(guān)系是m
 
n.(選>,=,<)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案