Question

【題目】如圖，在底面為梯形的四棱錐S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC=60°，∠BAD=135°，AD=DC= ，SA=SC=SD=2，O為AC中點(diǎn)．

（1）求證：SO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在△ASC中，SA=SC，∠ASC= ，O為AC中點(diǎn)，

∴△ASC為正三角形，且AC=2，OS= ，

∵在△ADC中，DA2+DC2=4=AC2，O為AC中點(diǎn)，

∴ ，且OD=1，

∵在△SOD中，OS2+OD2=SD2，

∴△SOD為直角三角形，且 ，

∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，且AC∩OD=O，

∴SO⊥平面ABCD．

（2）解：如圖，設(shè)直線DO與BC交于點(diǎn)E，則OE、OC、OS兩兩垂直，

以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OC，OS所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知∠DAC=45°，且∠BAD=135°，

∴∠BAC=90°，∴AB∥x軸，

又∵在△ABC中，AB=2，

∴A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（0，1，0），S（0，0， ），

=（2，0，0）， =（0，1， ）， =（2，﹣1，﹣ ）， =（0，1，﹣ ），

設(shè)平面ABS的一個(gè)法向量 =（x，y，z），

則 ，令z=﹣1，得 =（0， ，﹣1），| |=2，

設(shè)平面SBC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a= ，得 =（ ），

cos＜ ＞= = = ，

∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值是 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出△ASC為正三角形，且AC=2，OS= ， ，且OD=1，SO⊥OD，由此能證明SO⊥平面ABCD．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OC，OS所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．