Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的不同兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A、B處的切線分別為l₁、l₂，且l₁⊥l₂，l₁與l₂相交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）證明：A、B、F三點(diǎn)共線；
（3）假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，問是否存在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與l₁、l₂都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而求出直線l₁、l₂的方程，通過解它們聯(lián)立的方程組即可求得求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）欲證明：A、B、F三點(diǎn)共線，只須證明它們的斜率k_AF=k_BF．相等即可，也就是要證明k_AF-k_BF=0即可，利用斜率公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可證得；
（3）對(duì)于存在性問題，可假設(shè)存在，即假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為M，再分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，最后求出|AD|和|BD|，看是否與題設(shè)矛盾，若不矛盾，則存在，否則不存在．
解答：（1）解：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分別是拋物線C在點(diǎn)A、B處的切線，
∴直線l₁的斜率，直線l₂的斜率．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-p²．①（2分）
∵A、B是拋物線C上的點(diǎn)，
∴
∴直線l₁的方程為，直線l₂的方程為．
由解得
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．（4分）

（2）證：∵F為拋物線C的焦點(diǎn)，∴．
∴直線AF的斜率為，
直線BF的斜率為．
∵（6分）====0．
∴k_AF=k_BF．
∴A、B、F三點(diǎn)共線．（8分）
（3）解：不存在．證明如下：
假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為M，
依題意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD．
∴四邊形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．（10分）
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∴，得p=2．
把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線l₁，得
解得x₁=4或x₁=-1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）或．
同理可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）或．
由于A、B是拋物線C上的不同兩點(diǎn)，不妨令，B（4，4）．
∴，．（13分）
∴|AD|≠|(zhì)BD|，這與|AD|=|BD|矛盾．
∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與l₁、l₂都相切的圓不存在．（14分）
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高