Question

設(shè)二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，，的導(dǎo)函數(shù)為，且，

（1）求函數(shù)，的解析式；

（2）求的極小值；

（3）是否存在實(shí)常數(shù)和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）的極小值為；（3）存在這樣的實(shí)常數(shù)和，且

【解析】

試題分析：（1）由二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)可求，從而，由可解得，從而得；由可解得從而得；（2）由題可知，通過導(dǎo)函數(shù)可得的單調(diào)性，從而可得的極小值為；（3）根據(jù)題意可知，只須證明和的函數(shù)圖像在切線的兩側(cè)即可，故求出函數(shù)在公共點(diǎn)(1,1)的切線方程，只須驗(yàn)證：，從而找到實(shí)數(shù)存在這樣的實(shí)常數(shù)和，且.

試題解析：（1）由已知得，

則，從而，∴

，。

由 得，解得

。        4分

（2），

求導(dǎo)數(shù)得.        8分

在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+）單調(diào)遞增，從而的極小值為.

（3）因  與有一個公共點(diǎn)(1,1),而函數(shù)在點(diǎn)(1,1)的切線方程為.

下面驗(yàn)證都成立即可.

由 ，得，知恒成立.

設(shè)，即 ，

求導(dǎo)數(shù)得，

在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 的最大值為，所以恒成立.

故存在這樣的實(shí)常數(shù)和，且.        13分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性和最值；2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題；2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)不等式