Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，當n∈N^*，n≥2時，a_n=

an-1

an-1+1

，則數列{a_n}的通項公式a_n=

1

n

．

Answer 1

分析：數列{a_n}中，a₁=1，當n∈N^*，n≥2時，a_n=

an-1

an-1+1

，故a2=

1

1+1

=

1

2

，a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，由此猜想，an=

1

n

．由數學歸納法能夠進行證明．

解答：解：數列{a_n}中，a₁=1，
當n∈N^*，n≥2時，a_n=

an-1

an-1+1

，
∴a2=

1

1+1

=

1

2

，
a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
由此猜想，an=

1

n

．
由數學歸納法進行證明：
①n=1時，a1=

1

1

=1，成立．
②假設n=k時，成立，即ak=

1

k

，
則當n=k+1時，ak+1=

1 k

1 k +1

=

1

k+1

，也成立，
由①②知，an=

1

n

．
故答案為：

1

n

．

點評：本題考查數列的遞推公式的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行猜想和數學歸納法的靈活運用．