Question

15．（1）已知在極坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)（2，0）、傾斜角為$\frac{π}{6}$，求$M（2，\frac{π}{3}）$到直線l的距離；
（2）已知直線和橢圓的參數(shù)方程分別是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+t\\ y=\frac{1}{2}-t\end{array}$（t∈R，t為參數(shù)），$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由，若相交求出相交弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)M和直線l的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算；
（2）求出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程，根據(jù)判別式位置關(guān)系，利用參數(shù)的幾何意義求出弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）直線l的普通方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），即$\sqrt{3}$x-3y-2$\sqrt{3}$=0．
點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為M（1，$\sqrt{3}$）．
∴點(diǎn)M到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$．
（2）橢圓的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程得14t²+2$\sqrt{2}$t-41=0．
∵△=8+14×41×4＞0，∴直線與橢圓相交．
設(shè)方程的兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=-$\frac{\sqrt{2}}{7}$，t₁t₂=-$\frac{41}{14}$．
∴相交弦長(zhǎng)為|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{2}{49}+\frac{82}{7}}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．