Question

已知圓M：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）直線l過點(diǎn)P（0，2）且與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知GP|=|GN|，|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2

2

，由|MN|=2知G是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出點(diǎn)G的軌跡C的方程．
（II）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，再由根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（I）∵

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=

0

∴|GP|=|GN|
∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2

2

∵|MN|=2
∴G是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓
設(shè)曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，

2a=2 2 c=1 b2=a2-c2

得a²=2，b²=1
∴點(diǎn)G的軌跡C的方程為：

x2

2

+y2=1（6分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞0?k2＞

3

2

由根與系數(shù)關(guān)系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

S△AOB=

1

2

|PO||x1-x2|=

2 2 2k2-3

1+2k2

令m=

2k2-3

(m＞0)，則2k2=m2+3
∴S=

2 2 m

m 2+4

=

2 2

m+ 4 m

≤

2

2

當(dāng)且僅當(dāng)m=

4

m

，即m=2時(shí)，Smax=

2

2

，此時(shí)k=±

14

2

∴所求的直線方程為±

14

x-2y+4=0（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系的合理運(yùn)用．