已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,正數(shù)數(shù)列的首項(xiàng)為,

且滿足:.記數(shù)列項(xiàng)和為

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)是否存在正整數(shù),且,使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ) 存在,。

【解析】熟練掌握并靈活運(yùn)用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式是解決此題的關(guān)鍵.

(Ⅰ)根據(jù)Sn求出a1,a2,a3,根據(jù){an}為等比數(shù)列,確定出c的值.

(Ⅱ)根據(jù)bn+1=

bn

1+2bn

 (n∈N*),得到bn與bn+1的遞推關(guān)系,根據(jù)特殊的數(shù)列求通項(xiàng).

(Ⅲ)先求出Tn,假設(shè)滿足T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,得到n與m的關(guān)系式,再根據(jù)1<m<n,求出m,n的范圍,根據(jù)m,n是正整數(shù),求出m,n的值.

解:(Ⅰ),,………(3分)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821171417225409/SYS201209182117511005852642_DA.files/image008.png">為等比數(shù)列所以,得 ………………………(4分)

經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)為等比數(shù)列.          ………………(5分)

(Ⅱ)∵    ∴

數(shù)列為等差數(shù)列   …………………………………………(7分)

,所以

所以                          …………(10分)

(Ⅲ) ……(12分)

假設(shè)存在正整數(shù),且,使得成等比數(shù)列

,所以

,所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821171417225409/SYS201209182117511005852642_DA.files/image026.png">為正整數(shù),所以,此時(shí)

所以滿足題意的正整數(shù)存在,.…………(15分)

 

練習(xí)冊系列答案
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(本題13分)
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是,滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)若對(duì)任意的,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則公比=(     )

A.         B.          C. 2           D.

 

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已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式是          .

 

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已知等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,且,則數(shù)列的公比的值為(    )

A. 2          B. 3         C. 2或-3           D. 2或3

 

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