已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,正數(shù)數(shù)列的首項(xiàng)為,
且滿足:.記數(shù)列前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)是否存在正整數(shù),且,使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 存在,。
【解析】熟練掌握并靈活運(yùn)用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式是解決此題的關(guān)鍵.
(Ⅰ)根據(jù)Sn求出a1,a2,a3,根據(jù){an}為等比數(shù)列,確定出c的值.
(Ⅱ)根據(jù)bn+1=
bn |
1+2bn |
(n∈N*),得到bn與bn+1的遞推關(guān)系,根據(jù)特殊的數(shù)列求通項(xiàng).
(Ⅲ)先求出Tn,假設(shè)滿足T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,得到n與m的關(guān)系式,再根據(jù)1<m<n,求出m,n的范圍,根據(jù)m,n是正整數(shù),求出m,n的值.
解:(Ⅰ),,………(3分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821171417225409/SYS201209182117511005852642_DA.files/image008.png">為等比數(shù)列所以,得 ………………………(4分)
經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)為等比數(shù)列. ………………(5分)
(Ⅱ)∵ ∴
數(shù)列為等差數(shù)列 …………………………………………(7分)
又,所以
所以 …………(10分)
(Ⅲ) ……(12分)
假設(shè)存在正整數(shù),且,使得成等比數(shù)列
則,所以
由得且
即,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821171417225409/SYS201209182117511005852642_DA.files/image026.png">為正整數(shù),所以,此時(shí)
所以滿足題意的正整數(shù)存在,.…………(15分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆陜西省師大附中、西工大附中高三第七次聯(lián)考文數(shù) 題型:解答題
(本題13分)
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和是,滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)若對(duì)任意的,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年吉林省長春市畢業(yè)班第四次調(diào)研測試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則公比=( )
A. B. C. 2 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆浙江省高一下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則的通項(xiàng)公式是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省度高二下學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,且,則數(shù)列的公比的值為( )
A. 2 B. 3 C. 2或-3 D. 2或3
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