Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小值為-2，且對(duì)于任意x∈R，恒有f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0，又f（0）=1，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的增區(qū)間為（　�。�

• A． [0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π]
• D． [0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值得出A的值，再由f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0求出ω的值，由f（0）的值求出φ的值，寫出f（x）的解析式，再求出f（x）在區(qū)間[0，π]上的增區(qū)間即可．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值為-2，得A=2；
又f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0，
∴2sin（ωx+$\frac{π}{2}$ω+φ）+2sin（ωx+φ）=0，
∴ω=2；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，
解得sinφ=$\frac{1}{2}$；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．