Question

（本題滿分12分）
如圖所示，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值．

Answer 1

(1)證明：見解析；(2) 1:1.

試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關(guān)鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進(jìn)行線面關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；
（Ⅱ）利用體積的計算方法將本題中的體積計算出來是解決本題的關(guān)鍵，掌握好錐體的體積計算公式．
解：                                
(1)證明：由條件知PDAQ為直角梯形．
因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解：設(shè)AB＝a.
由題設(shè)知AQ為棱錐Q－ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V₁＝a³.
由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a²，
所以棱錐P－DCQ的體積V₂＝a³.
故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1:1.
點(diǎn)評：解決該試題中一定要注意步驟的規(guī)范性以及對于線面垂直的性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用。