【題目】(理科)已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,t∈R.
(1)當t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
【答案】
(1)解:f'(x)=12x2+6tx﹣6t2,令f'(x)=0,得x1=﹣t或 .
1°當t>0時,f'(x)>0的解集為
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 .
2°當t<0時,f'(x)<0的解集為
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為
(2)證明:由(1)可知,當t>0時,f(x)在 內(nèi)遞減, 內(nèi)單調(diào)遞增.
1°當 ,即t≥2時,f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增.
f(0)=t﹣1>0,f(1)=﹣6t2+4t+3<0
∴f(x)在(0,1)內(nèi)有零點.
2°當0< <1,即0<t<2時,f(x)在 內(nèi)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增.
若 <0,f(1)=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t>0
∴f(x)在 內(nèi)存在零點.
若 <0,f(0)=t﹣1>0
∴f(x)在 內(nèi)存在零點.
∴對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點
【解析】(1)利用函數(shù)的導函數(shù)求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)(1)中所求的單調(diào)區(qū)間對t進行分類討論,再利用零點存在定理證明命題成立.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A是拋物線M:y2=2px(p>0)與圓C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共點,且點A到拋物線M焦點F的距離為a,若拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a,O為坐標原點,則直線OA被圓C所截得的弦長為( )
A.2
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設正三棱錐A﹣BCD(底面是正三角形,頂點在底面的射影為底面中心)的所有頂點都在球O的球面上,BC=2,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點,EF⊥DE,則球O的表面積為( )
A.
B.6π
C.8π
D.12π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】脫貧是政府關注民生的重要任務,了解居民的實際收入狀況就顯得尤為重要.現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取個農(nóng)戶,考察每個農(nóng)戶的年收入與年積蓄的情況進行分析,設第個農(nóng)戶的年收入(萬元),年積蓄(萬元),經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得
(Ⅰ)已知家庭的年結余對年收入具有線性相關關系,求線性回歸方程;
(Ⅱ)若該地區(qū)的農(nóng)戶年積蓄在萬以上,即稱該農(nóng)戶已達小康生活,請預測農(nóng)戶達到小康生活的最低年收入應為多少萬元?
附:在 中, 其中為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的個數(shù)是( )
①函數(shù)f(x)=2x﹣x2的零點有2個;
②函數(shù)y=sin(2x+ )sin( ﹣2x)的最小正周期是π;
③命題“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值,則f′(x0)=0”的否命題是真命題;
④ dx= .
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2],a為常數(shù).
(1)用g(x)表示f(x)的最小值,求g(a)的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整數(shù)m,使得g(a)﹣m≤0對于任意a∈R均成立,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,圓與軸相切于點,且圓心在直線上.
(Ⅰ)求圓的標準方程;
(II)設為圓上的兩個動點, ,若直線和的斜率之積為定值2,試探求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市郊區(qū)有一加油站,2018年初汽油的存儲量為50噸,計劃從年初起每周初均購進汽油噸,以滿足城區(qū)內(nèi)和城外汽車用油需求,已知城外汽車用油每周5噸;城區(qū)內(nèi)汽車用油前個周需求量噸與的函數(shù)關系式為 , 為常數(shù),且前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸.
(1)試寫出第個周結束時,汽油存儲量(噸)與的函數(shù)關系式;
(2)要使16個周內(nèi)每周按計劃購進汽油之后,加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求,且每周結束時加油站的汽油存儲量不超過150噸,試確定的取值范圍.
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