如圖,四面體ABCD中,O、E分別為BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大;

(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.

解:方法一:(Ⅰ)證明:連接OC

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=

而AC=2,∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD

(Ⅱ)提示:取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是直角斜邊AC上的中線,∴OM=AC=1,

∴cos∠OEM=,

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos

(Ⅲ)提示:設(shè)點E到平面ACD的距離為h.

∵VE-ACD=VA-CDE,∴h·S△ACD=AO·S△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,

∴S△ACD=.

而AO=1,S△CDE=,

∴h=

∴點E到平面ACD的距離為

方法二:(1)同方法一.

(Ⅱ)提示:以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1)

E(0),=(-1,0,1),=(-1,-,0).

∴cos<>=

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(Ⅲ)提示:設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則

令y=1,得n=()是平面ACD的一個法向量.

=(,0),

∴點E到平面ACD的距離h=

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點,△ABD和△BCD均為等邊三角形,
AB=2,AC=
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(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求二面角A-BC-D的大小;
(III)求O點到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點,CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.

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如圖,四面體ABCD的各個面都是直角三角形,已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=a,BC=a,CD=c.
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(2)求四面體ABCD的表面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.

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