Question

4．《環(huán)境空氣質量指標（AQI）技術規(guī)定（試行）》如表1：
表1：空氣質量指標AQI分組表

AQI	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
級別	Ⅰ級	Ⅱ級	Ⅲ級	Ⅳ級	Ⅴ級	Ⅵ級
類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

表2是長沙市某氣象觀測點在某連續(xù)4天里的記錄，AQI指數M與當天的空氣水平可見度y（km）的情況．
表2：

AQI指數	900	700	300	100
空氣可見度 （千米）	0.5	3.5	6.5	9.5

表3是某氣象觀測點記錄的長沙市2016年1月1日至1月30日AQI指數頻數統(tǒng)計表．
表3：

AQI指數	[0，200]	（201，400]	（401，600]	（601，800]	（801，1000]
頻數	3	6	12	6	3

（1）設x=$\frac{M}{100}$，根據表2的數據，求出y關于x的回歸方程；
（2）小李在長沙市開了一家小洗車店，經小李統(tǒng)計：AQI指數不高于200時，洗車店平均每天虧損約200元；AQI指數在200至400時，洗車店平均每天收入約400元；AQI指數大于400時，洗車店平均每天收入約700元．
（ⅰ）計算小李的洗車店在當年1月份每天收入的數學期望．
（ⅱ）若將頻率看成概率，求小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率．
（用最小二乘法求線性回歸方程系數公式$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$x）

Answer 1

分析 （1）利用公式計算線性回歸方程系數，即可得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程；
（2）（ⅰ）由表2知AQI指數不高于200的頻率為0.1，AQI指數在200至400的頻率為0.2，AQI指數大于400的頻率為0.7，確定飯館每天的收入的取值及概率，從而可求分布列及數學期望；
（ⅱ）由（�。�，“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五種情況”，即可求出小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{9+7+3+1}{4}=5$，$\overline y=\frac{0.5+3.5+6.5+9.5}{4}=5$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}{y_j}}=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}^2}={9^2}+{7^2}+{3^2}+{1^2}=140$，
所以$b=\frac{58-4×5×5}{{140-4×{5^2}}}=-\frac{21}{20}$，$a=5-（-\frac{21}{20}）×5=\frac{41}{4}$，
所以y關于x的回歸方程是$y=-\frac{21}{20}x+\frac{41}{4}$．
（2）由表3知AQI不高于200的頻率為0.1，AQI指數在200至400的頻率為0.2，AQI指數大于400的頻率為0.7．
設“洗車店每天虧損約200元”為事件A，“洗車店每天收入約400元”為事件B，“洗車店每天收入約700元”為事件C，
則P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，
（�。┰O洗車店每天收入為X元，則X的分布列為

X	-200	400	700
P	0.1	0.2	0.7

則X的數學期望為EX=-200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．
（ⅱ）由（ⅰ），“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五種情況”，
則“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元”的概率：$P={0.2^3}+C_3^2×{0.7^2}×0.1+C_3^2×{0.7^2}×0.2+C_3^2×{0.2^2}×0.7+{0.7^3}=0.876$．

點評 本題考查線性回歸方程，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．