Question

為了適應(yīng)新課改的要求，某重點(diǎn)高中在高一500名新生中開(kāi)設(shè)選修課．其中某老師開(kāi)設(shè)的《趣味數(shù)學(xué)》選修課，在選課時(shí)設(shè)第n次選修人數(shù)為a_n個(gè)，且第n（n≥2）次選課時(shí)，選《趣味數(shù)學(xué)》的同學(xué)人數(shù)比第n-1次選修人數(shù)的一半還多15人．
（1）當(dāng)a₁≠30時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推公式，并證明數(shù)列{a_n-30}是一個(gè)等比數(shù)列；
（2）求出用a₁和n表示的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．如果選《趣味數(shù)學(xué)》的學(xué)生越來(lái)越多，求a₁的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，有，（其中n≥2）；
∴，
又a₁≠30，即a₁-30≠0，
故{a_n-30}是一個(gè)以（a₁-30）為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得：；
∴，
又．
∴a₁的取值范圍是：0≤a₁＜30．
分析：（1）由題意，（其中n≥2），即；由a₁≠30，得a₁-30≠0，知{a_n-30}是等比數(shù)列；
（2）由（1）得，即，可得a_n-a_n-1＞0，從而得a₁的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義和遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真分析，以免出錯(cuò)．