Question

已知函數(shù)(a，c∈R，a＞0，b是自然數(shù))是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1)＞．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)是否存在直線l與y＝f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)是奇函數(shù) 　　∴f(－x)＝－f(x)，即 　　 　　∴－bx＋c＝－bx－c 　　∴c＝0 　　∴f(x)＝………………3分 　　由a＞0，b是自然數(shù)得當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)≤0， 　　當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0 　　∴f(x)的最大值在x＞0時(shí)取得． 　　∴x＞0時(shí)， 　　當(dāng)且僅當(dāng) 　　即時(shí)，f(x)有最大值 　　∴＝1,∴a＝b2　�、� 　　又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a＋2　�、� 　　把①代入②得2b2－5b＋2＜0解得＜b＜2 　　又b∈N,∴b＝1,a＝1,∴f(x)＝………………6分 　　(2)設(shè)存在直線l與y＝f(x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱， 　　P(x0,y0)則Q(2－x0,－y0)，∴,消去y0，得x02－2x0－1＝0 　　解之，得x0＝1±,………………8分 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為()或() 　　進(jìn)而相應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q()或Q()．………………10分 　　∴存在這樣的直線l，其方程為