Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．
（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；
（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴ = ，

∵DE=DG，CD=BC，

∴ = ，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F(xiàn)四點共圓．

（Ⅱ）∵E為AD中點，AB=1，∴DG=CG=DE= ，

∴在Rt△DFC中，GF= CD=GC，連接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，

∴S四邊形BCGF=2S△BCG=2× ×1× = ．

【解析】（Ⅰ）證明B，C，G，F(xiàn)四點共圓可證明四邊形BCGF對角互補，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉化為證明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S四邊形BCGF=2S△BCG，據此解答．