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20.已知函數(shù)fx=2x+1x,數(shù)列{an}滿足:a1=2an+1=f1annN
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn

分析 (Ⅰ)通過代入fx=2x+1x=2+1x可知an+1-an=2,進而可知數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)及等差數(shù)列的求和公式,裂項可知1Sn=1nn+1=1n1n+1,進而并項相加即得結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)∵fx=2x+1x=2+1x,
an+1=f1an=2+an,即an+1-an=2,
又∵a1=2,
∴數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;
(Ⅱ)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
Sn=a1+ann2=2+2nn2=nn+1,
1Sn=1nn+1=1n1n+1,
Tn=1S1+1S2+1S3++1Sn
=1112+1213+1314++1n1n+1
=11n+1
=nn+1

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,考查裂項相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若akak+1=ak+2,求正整數(shù)k的值;
(3)是否存在正整數(shù)k,使得\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}恰好為數(shù)列{an}的一項?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)k;若不存在,請說明理由.

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