分析 (Ⅰ)通過代入$f(x)=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$可知an+1-an=2,進而可知數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)及等差數(shù)列的求和公式,裂項可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,進而并項相加即得結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)∵$f(x)=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$,
∴${a_{n+1}}=f(\frac{1}{a_n})=2+{a_n}$,即an+1-an=2,
又∵a1=2,
∴數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;
(Ⅱ)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴${S_n}=\frac{{({a_1}+{a_n})n}}{2}=\frac{(2+2n)n}{2}=n(n+1)$,
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$
=$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,考查裂項相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{π}{6}$ | D. | $\frac{π}{12}$ |
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A. | $\frac{{3}^{n+1}-4n-3}{2}$ | B. | $\frac{{3}^{n}-2n-1}{2}$ | C. | $\frac{{3}^{n}-2n+1}{2}$ | D. | 3n+1-2n-1 |
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