分析 (Ⅰ)通過代入f(x)=2x+1x=2+1x可知an+1-an=2,進而可知數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)及等差數(shù)列的求和公式,裂項可知1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1,進而并項相加即得結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=2x+1x=2+1x,
∴an+1=f(1an)=2+an,即an+1-an=2,
又∵a1=2,
∴數(shù)列{an}是以首項、公差均為2的等差數(shù)列,
∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;
(Ⅱ)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴Sn=(a1+an)n2=(2+2n)n2=n(n+1),
∴1Sn=1n(n+1)=1n−1n+1,
∴Tn=1S1+1S2+1S3+…+1Sn
=(11−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)
=1−1n+1
=nn+1.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查運算求解能力,考查裂項相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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A. | \frac{π}{2} | B. | \frac{π}{3} | C. | \frac{π}{6} | D. | \frac{π}{12} |
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A. | \frac{{3}^{n+1}-4n-3}{2} | B. | \frac{{3}^{n}-2n-1}{2} | C. | \frac{{3}^{n}-2n+1}{2} | D. | 3n+1-2n-1 |
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