Question

水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具,圖2是一個(gè)水車工作的示意圖,它的直徑為3 m,其中心(即圓心)O距水面1.2m,如果水車逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是min.在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P,點(diǎn)P距水面的高度為h(m).

圖2

(1)求h與時(shí)間t的函數(shù)解析式,并作出這個(gè)函數(shù)的簡圖.

(2)討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時(shí),所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會(huì)發(fā)生哪些變化.若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢,函數(shù)解析式中的參數(shù)又會(huì)受到怎樣的影響?

Answer 1

活動(dòng)與解答:不妨設(shè)水面的高度為0,當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時(shí),P點(diǎn)距水面的高度為負(fù)值.顯然,h與t的函數(shù)關(guān)系是周期函數(shù)的關(guān)系.

如圖2,設(shè)水車的半徑為R,R=1.5 m;水車中心到水面的距離為b,b=1.2 m;∠QOP為α;水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間為T;由已知T=(min)=80(s),單位時(shí)間(s)旋轉(zhuǎn)的角度(rad)為ω,ω==rad/s.

為了方便,不妨從P點(diǎn)位于水車輪與水面交點(diǎn)Q時(shí)開始計(jì)時(shí)(t=0),在t時(shí)刻水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α,如圖2所示,∠QOP=α=ωt=t(rad).

過P點(diǎn)向水面作垂線,交水面于M點(diǎn),PM的長度為P點(diǎn)的高度h.過水車中心O作PM的垂線,交PM于N點(diǎn),∠QON為φ.

從圖中不難看出:

h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①

這是一個(gè)由三角函數(shù)確定的數(shù)學(xué)模型.

從圖中可以看出:sinφ=,所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

把前面已經(jīng)確定了的參數(shù)α,φ,R和b代入①式,我們就可以得到

h=1.5 sin(t-0.295π)+1.2(m).②

這就是P點(diǎn)距水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式.

因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到53.1°時(shí),P點(diǎn)到水面的距離恰好是1.2(m),

此時(shí)t=≈11.8(s),故可列表,描點(diǎn),畫出函數(shù)在區(qū)間［11.8,91.8］上的簡圖(如圖3):

t	11.8	31.8	51.8	71.8	91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2	1.2	2.7	1.2	-0.3	1.2

    如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少,將造成水車中心O與水面距離的改變,而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時(shí)參數(shù)b減小;水面回落時(shí)參數(shù)b增大.如果水車輪轉(zhuǎn)速加快,將使周期T減小,轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大.

點(diǎn)評(píng):面對(duì)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型,是一項(xiàng)重要的基本技能.這個(gè)過程并不神秘,就像這個(gè)例題,把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個(gè)過程是很自然的.