Question

實數(shù)a∈[-1，1]，b∈[0，2]．設(shè)函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx的兩個極值點為x₁，x₂，現(xiàn)向點（a，b）所在平面區(qū)域投擲一個飛鏢，則飛鏢恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的區(qū)域的概率為  （　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx的兩個極值點為x₁，x₂，使?jié)M足x₁≤-1且x₂≥1的可行域面積的大小和實數(shù)a，b滿足a∈[-1，1]，b∈[0，2]對應(yīng)的圖形面積的大�。�

解答：解：∵f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx
∴f'（x）=-x²+ax+b的兩個零點為x₁，x₂，
∵x₁≤-1且x₂≥1
∴

f′(-1)=-1-a+b≥0 f′(1)=-1+a+b≥0

在條件實數(shù)a∈[-1，1]，b∈[0，2]下畫出滿足上面不等式的圖形如右圖中陰影部分．
其面積為1，a∈[-1，1]，b∈[0，2]圍成圖形的面積為4
∴現(xiàn)向點（a，b）所在平面區(qū)域投擲一個飛鏢，則飛鏢恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的區(qū)域的概率為 

1

4

故選C．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和幾何概型的概率，同時考查了畫圖的能力，屬于中檔題．