定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對任意實數(shù)m,n,總有f(m+n)=f(m)•f(n),且當x>0時,0<f(x)<1.
(1)試求f(0)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)-f(k-2t2)<0恒成立,求k的取值范圍.
分析:(1)在f(m+n)=f(m)•f(n)中令m=1,n=0,即可求得f(0)的值;
(2)要判斷f(x)的單調(diào)性,可任取x1,x2∈R,且設x1<x2,可證得f(x2)-f(x1)<0,從而可判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)由(2)知,f(t2-2t)-f(k-2t2)<0恒成立?k<3t2-2t(t∈R)?k<(3t2-2t)min,從而可求k的取值范圍.
解答:解:(1)在f(m+n)=f(m)•f(n)中令m=1,n=0,得:f(1)=f(1)•f(0)
因為f(1)≠0,所以,f(0)=1.
(2)要判斷f(x)的單調(diào)性,可任取x1,x2∈R,且設x1<x2
在f(m+n)=f(m)•f(n)中取m+n=x2,m=x1,
則f(x2)=f(x1)•f(x2-x1),
∵x2-x1>0,
∴0<f(x2-x1)<1
為比較f(x2),f(x1)的大小,只需考慮fx1( 。┑恼摷纯桑
在在f(m+n)=f(m)•f(n)中令m=x,n=-x,則得f(x)-f(-x)=1.
∵x>0時0<f(x)<1,
∴當x<0時,f(x)=
1
f(-x)
>1>0.
又f(0)=1,所以,綜上,可知,對于任意x1∈R,均有f(x1)>0.
∴f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0.
∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.
(3)不等式即f(t2-2t)<f(k-2t2),
由(2)知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,
∴t2-2t>k-2t2,
∴k<3t2-2t,其中t∈R.
∴k<(3t2-2t)min,而3t2-2t=3(t-
1
3
)
2
-
1
3
1
3
,
∴k<-
1
3
,即k的取值范圍是(-∞,-
1
3
).
點評:本題考查抽象函數(shù)及其應用,考查賦值法,考查函數(shù)單調(diào)性的判定,考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想,考查邏輯推理與綜合應用能力,屬于難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈[0,
π
2
]時,f(x)=sinx,則f(
3
)的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
,當x∈(0,4)時,f(x)=x2-1,則f(2010)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個最低點之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對稱中心都在f(x)圖象的對稱軸上.
(1)求f(x)的表達式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
π
2
]),求cos(x0-
π
3
)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應值表:
x 0 1 2 3
f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f(x)一定存在零點的區(qū)間是(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案