Question

設函數(shù)，
（I）求證：當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）內為單調函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

解：（I）∵，
①當a≥1時，∵，∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減
②當0＜a＜1時，由f′（x）＜0，得；
由f′（x）＞0得；
∴當0＜a＜1時，f（x）在，為增函數(shù)，
∴當0＜a＜1時，f（x）在[0，+∞）上不是單調函數(shù)；
綜上，當且僅當a≥1時，f（x）在[0，+∞）上為單調函數(shù)．
（II）由（I）①知當a≥1時f（x）單調遞減，不合； 由②知當f（x）在[1，+∞）上單調遞增等價于：，∴，即a的取值范圍是．
分析：（I）先求函數(shù)的導數(shù)f′（x），再證明a≥1時，f′（x）＜0，f（x）單調；而a＜1時，f′（x）先負后正，f（x）不單調
（II）由（1）知a≥1時f（x）單調遞減，不合題意，當0＜a＜1時，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，需[1，+∞）是函數(shù)單調增區(qū)間的子區(qū)間，可求a的范圍
點評：本題考查了導數(shù)在函數(shù)的單調性上的應用，解題時要學會對參數(shù)進行討論，做到不重不漏，還要注意一題中兩問間的關系