Question

11．已知焦點在x軸上的橢圓方程為$\frac{x^2}{4a}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1$，隨著a的增大該橢圓的形狀（　�。�

• A． 越接近于圓
• B． 越扁
• C． 先接近于圓后越扁
• D． 先越扁后接近于圓

Answer 1

分析 首先根據(jù)橢圓成立的條件求出a的取值范圍，進一步利用函數(shù)的單調(diào)性求出橢圓中的離心率的變化規(guī)律，最后確定結果．

解答 解：由$\frac{x^2}{4a}+\frac{y^2}{{{a^2}+1}}=1$，表示焦點在x軸上的橢圓，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{{a}^{2}+1＞0}\\{4a＞{a}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得：2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$，
由于a在不斷的增大，所以對函數(shù)y=a²+1，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$）為單調(diào)遞增函數(shù)，
即短軸中的b²在不斷增大．離心率e=$\sqrt{\frac{4a-{a}^{2}-1}{4a}}$，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$），
令f（a）=4a-a²-1，（2-$\sqrt{3}$＜a＜2+$\sqrt{3}$），
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，（2-$\sqrt{3}$，2）單調(diào)遞增，（2，2+$\sqrt{3}$）單調(diào)遞減，
∴e隨著a的增加，先增加后減小，
∴隨著a的增大該橢圓先越扁后接近于圓，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，橢圓中a、b、c與橢圓離心率的關系及二次函數(shù)的性質(zhì)的應用．屬于基礎題．