Question

已知函數f（x）=

x2+2x+3(x≤0) x2eax(x＞0)

（Ⅰ）若a=-1，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的正實數m，關于x的方程f（x）=m恒有實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數單調性的判斷與證明

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據分段函數，確定每一段上的單調遞增區(qū)間，即可得出函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的正實數m，關于x的方程f（x）=m恒有實數解，等價于函數f（x）的值取遍每一個正數．注意到x≤0時，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，x＞0時，f（x）的值域必須包含（0，2）．

解答： 解：（Ⅰ）x≤0時，f（x）=x²+2x+3，其單調遞增區(qū)間為[-1，0]；
x＞0時，f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=-x²e^-x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜2，∴單調遞增區(qū)間為（0，2），
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[-1，0]和（0，2）；
（Ⅱ）對任意的正實數m，關于x的方程f（x）=m恒有實數解，等價于函數f（x）的值取遍每一個正數．
注意到x≤0時，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，
∴x＞0時，f（x）的值域必須包含（0，2）．
x＞0時，f′（x）=xe^ax（ax+2）
①a≥0，f′（x）＞0，函數在（0，+∞）上遞增，f（x）的值域為（0，+∞），符合題意；
②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜-

2

a

，令f′（x）＜0，可得x＞-

2

a

，
∴函數在（0，-

2

a

）上單調遞增，在（-

2

a

，+∞）上遞減，
∴f（x）_max=f（-

2

a

）=

4

a2e2

，
∴（x）的值域為（0，

4

a2e2

]，
∴（0，

4

a2e2

]?（0，2），
∴

4

a2e2

≥2，
∴-

2

e

≤a＜0，
綜上，實數a的取值范圍是[-

2

e

，+∞）．

點評：本題考查分段函數，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力．對任意的正實數m，關于x的方程f（x）=m恒有實數解，等價于函數f（x）的值取遍每一個正數是關鍵．