Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)（n，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=a^x（a≥2，a∈N）的圖象上，點(diǎn)（n，b_n）（n∈N^*）在直線(xiàn)y=（a+1）x+b（b∈R）上．
（1）若點(diǎn)（1，a₁）與點(diǎn)（1，b₁）重合，且a₂＜b₂，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)a=2時(shí)，數(shù)列{a_n}中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（3）當(dāng)b=1時(shí)，記A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，設(shè)C=A∩B，將集合C的元素按從小到大的順序排列組成數(shù)列{c_n}，寫(xiě)出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式c_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a₁=b₁，可得b值，由a₂＜b₂可得a的范圍，結(jié)合題意可得a值，可得所求通項(xiàng)公式；（2）（反證法）當(dāng)a=2時(shí)，a_n=2ⁿ，假設(shè)存在數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)2^p，2^q，2^r成等差數(shù)列，由整數(shù)的奇偶性可得結(jié)論；（3）當(dāng)b=1時(shí)，設(shè)m₀∈C，則m₀∈A且m₀∈B，設(shè)m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），可得s=

at-1

a+1

，a^t-1能被a+1整除，分①當(dāng)t=1，②當(dāng)t=2n（n∈N^*），③當(dāng)t=2n+1（n∈N^*）討論可得．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（1，a₁）與點(diǎn)（1，b₁）重合，
∴a₁=b₁，∴a=a+1+b，解得b=-1，
由a₂＜b₂可得a²-2a-1＜0，解得1-

2

＜a＜1+

2

，
又∵a≥2且a∈N，∴a=2，
可得數(shù)列{b_n}是3為公差的等差數(shù)列，
∴{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3n-1，
（2）（反證法）當(dāng)a=2時(shí)，a_n=2ⁿ，
假設(shè)存在數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)2^p，2^q，2^r成等差數(shù)列，
其中p，q，r為正整數(shù)且p＜q＜r，則2×2^q=2^p+2^r，
化簡(jiǎn)可得2×2^q-p=1+2^r-p，
∵等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，∴等式不成立，假設(shè)不成立．
∴數(shù)列{a_n}中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．
（3）當(dāng)b=1時(shí)，設(shè)m₀∈C，則m₀∈A且m₀∈B，
設(shè)m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），
則a^t=（a+1）s+1，變形可得s=

at-1

a+1

，
∵a，t，s∈N^*，且a≥2，
∴a^t-1能被a+1整除．
①當(dāng)t=1時(shí)，s=

a-1

a+1

∉N^*；
②當(dāng)t=2n（n∈N^*）時(shí)，a²ⁿ-1=[（a+1）-1]²ⁿ-1
=（a+1）²ⁿ+…-

C

1 2n

（a+1）+1-1，
∴a^t-1能被a+1整除．
③當(dāng)t=2n+1（n∈N^*）時(shí)，a²ⁿ⁺¹-1=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-1
=（a+1）²ⁿ⁺¹+…+

C

1 2n+1

（a+1）-2，
∴a^t-1不能被a+1整除．
綜上當(dāng)b=1時(shí)，c_n=a²ⁿ

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類(lèi)討論和反證法以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬中檔題．