在直角坐標(biāo)平面內(nèi),已知點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),直線PA、PB斜率之積為-
3
4

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(
1
2
,0)作直線l與軌跡C交于E、F兩點(diǎn),線段EF的中點(diǎn)為M,求直線MA的斜率k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),依題意,有
y
x-2
-
y
x+2
=-
3
4
(x≠±2)
.由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡C的方程.
(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+
1
2
,由方程組
x=my+
1
2
x2
4
+
y2
3
=1
消去x,并整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0,由此入手可推導(dǎo)出直線MA的斜率k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),
依題意,有
y
x-2
-
y
x+2
=-
3
4
(x≠±2)
.(3分)
化簡并整理,得
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是
x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2)
.(4分)
(Ⅱ)依題意,直線l過點(diǎn)(
1
2
,0)
且斜率不為零,故可設(shè)其方程為
x=my+
1
2
,(5分)
由方程組
x=my+
1
2
x2
4
+
y2
3
=1
消去x,并整理得
4(3m2+4)y2+12my-45=0(6分)
設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),M(x0,y0),則
y1+y2=-
3m
3m2+4
,(7分)
y0=
y1+y2
2
=-
3m
2(3m2+4)

x0=my0+
1
2
=
2
3m2+4

k=
y0
x0-2
=
m
4m2+4
,(9分)
①當(dāng)m=0時(shí),k=0;(10分)
②當(dāng)m≠0時(shí),k=
1
4m+
4
m

|4m+
1
m
|=4|m|+
4
|m|
≥8
,∴0
1
|4m+
4
m
|
1
8

0<|k|≤
1
8
.∴-
1
8
≤k≤
1
8
且k≠0.(11分)
綜合①②可知直線MA的斜率k的取值范圍是:--
1
8
≤k≤
1
8
.(12分)
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程的求法和直線方程的知識(shí),解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意公式的靈活運(yùn)用.
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P1P2
+
P3P4
+
P5P6
+…+
Pk-1Pk
的坐標(biāo)(用k表示)為
(
k
2
,
2k+1-2
3
)
(
k
2
2k+1-2
3
)

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P1P2
+
P3P4
+
P5P6
+…+
Pk-1Pk
的縱坐標(biāo)(用k表示)為
2k+1-2
3
2k+1-2
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-
1
2
-
1
2

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