對(duì)于函數(shù)y=f(x),若同時(shí)滿足下列條件:
①函數(shù)y=f(x)在定義域D內(nèi)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù);
②存在區(qū)間[a,b]⊆3D,使函數(shù)f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a,b],則稱f(x)是D上的閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)f(x)=-x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)g(x)=
3
4
x+
1
x
,在區(qū)間(0,+∞)上是否為閉函數(shù);
(3)若函數(shù)φ(x)=k+
x+2
是閉函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)∵y=-x3是[a,b]上的減函數(shù),
f(a)=-a3=b
f(b)=-b3=a.

b
a
=
-a3
-b3
=(
a
b
)3

∴(
a
b
)4=1
,∴
a
b
=±1

又∵-a3=b,∴
a=-1
b=1

∴所求區(qū)間為[-1,1].
(2)∵g′(x)=
3
4
-
1
x2
,x
∈(0,+∞),
令g′(x)=
3
4
-
1
x2
>0,得x>
2
3
3

∴x>
2
3
3
時(shí),g(x)為(
2
3
3
,+∞)上的增函數(shù).
令g′(x)=
3
4
-
1
x2
<0,得0<x<
2
3
3

∴g(x)為(0,
2
3
3
)上的減函數(shù).
∴g(x)不是(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù).
∴g(x)不是(0,+∞)上的閉函數(shù).
(3)易知φ(x)是[-2,+∞]上的增函數(shù).
設(shè)φ(x)=k+
x+2
滿足條件②的區(qū)間是[a,b],
?(a)=k+
a+2
=a
?(b)=k+
b+2
=b.

即a,b是方程x=k+
x+2
的兩個(gè)不等實(shí)根.
也就是方程組
x2-(2k+1)x+(k2-2)=0
x≥-2
x≥k
有兩個(gè)不等實(shí)根a,b.
①當(dāng)k≤-2時(shí),方程x2-(2k+1)+(k2-2)=0在[-2,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根.
2k+1
2
>-2
△=(2k+1)2-4(k2-2)>0
(-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得:-
9
4
<k≤-2

②當(dāng)k>-2時(shí),方程x2-(2k+1)x+(k2-2)=0在[k,+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根.
2k+1
2
>k
△=(2k+1)2-4(k2-2)>0
k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得:-
9
4
<k≤-2
,與條件k>-2矛盾.
∴φ(x)=k+
x+2
是閉函數(shù),實(shí)數(shù)k的取值范圍是-
9
4
<k≤-2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x+
π
2
)
為偶函數(shù),對(duì)于函數(shù)y=f(x)有下列幾種描述:
①y=f(x)是周期函數(shù)②x=π是它的一條對(duì)稱軸;③(-π,0)是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;
④當(dāng)x=
π
2
時(shí),它一定取最大值;其中描述正確的是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)y=f(x),x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù);
③對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2,總存在x0,當(dāng)x>x0 時(shí),有2x>x2成立;
④對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,則x1+x2=5.
其中正確的序號(hào)是
③⑤
③⑤

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•和平區(qū)一模)函數(shù)y=f(x)是定義在[a,b]上的增函數(shù),其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)無零點(diǎn),設(shè)F(x)=f2(x)+f2(-x),則對(duì)于函數(shù)y=F(x)有如下四種說法:①定義域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函數(shù);④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.其中正確的說法是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•上海模擬)對(duì)于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b)),設(shè)點(diǎn)C分
AB
的比為λ(λ>0).若函數(shù)為f(x)=x2(x>0),則直線AB必在曲線AB的上方,且由圖象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函數(shù)為f(x)=log2010x,請(qǐng)分析該函數(shù)的圖象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間[-3,3]上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,對(duì)于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,則點(diǎn)(a,b)所在區(qū)域的面積為(  )
A、8B、4C、2D、1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案