已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
1
2
an+n,n為奇數(shù)
an-2n,n為偶數(shù)

(1)求a2、a3、a4、a5;
(2)設(shè)bn=a2n-2,n∈N,求證{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(3)在(2)條件下,求證數(shù)列{an}前100項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)的和S100<100.
分析:(1)由數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
1
2
an+n,n為奇數(shù)
an-2n,n為偶數(shù)
,分別令n=2,3,4,5代入解出函數(shù)值即可;
(2)由于bn=a2n-2,要證明{bn}是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的定義即可得到,在利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng);
(3)在(2)條件下得:a2n=bn+2=2-(
1
2
)
n
     (n=1,2,…,50),由通項(xiàng)公式利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式即可求得.
解答:解:(1)a2=
3
2
,a3=-
5
2
,a4=
7
4
,a5=-
25
4
;
(2)∵
bn+1
bn
=
a2n+2-2
a2n-2
=
1
2
a2n+1 +2n+1-2
a2n-2

=
1
2
(a2n-4n)+2n-1
a2n-2
=
1
2
a2n-1
a2n-2
=
1
2

又∵b1=a2-2=-
1
2
,
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,
bn=(-
1
2
)(-
1
2
)
n-1
=(-
1
2
)
n
;
(3)由(2)得:
a2n=bn+2=2-(
1
2
)
n
     (n=1,2,…,50)
S100=a2+a4+…+a100=2×50-
1
2
(1-
1
250
)
1-
1
2
=99+
1
299
<100.
點(diǎn)評:此題考查了有數(shù)列的遞推關(guān)系求前5項(xiàng)的數(shù)值,等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,分組求和及等比數(shù)列的求和公式.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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