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11.已知函數(shù)fx=x+4x,gx=logax22x+3,其中a>0,且a≠1.
(Ⅰ)用定義證明函數(shù)f(x)在[2,+∞)是增函數(shù);
(Ⅱ)若對于任意的x0∈[2,4],總存在x1∈[0,3],使得f(x0)=g(x1)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)設(shè)2≤x1<x2,計(jì)算f(x1)-f(x2),判斷f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系,得出結(jié)論,
(Ⅱ)問題等價(jià)于f(x)的值域?yàn)間(x)的值域的子集,利用導(dǎo)數(shù)可分別求得兩函數(shù)的值域,根據(jù)集合包含關(guān)系可得不等式組,解出即可

解答 (Ⅰ)證明:設(shè)2≤x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1+4x1-(x2+4x2)=x1-x2+4x2x1x1x2=(x1-x2)(x1x24x1x2
∵2≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)=x+4x在(1,+∞)上是增函數(shù).
(Ⅱ)設(shè)t(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴t(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,(1,3]上單調(diào)遞減,
∴t(x)∈[2,6],
當(dāng)a>1時(shí),g(x)的值域?yàn)閇loga2,loga6],
當(dāng)0<a<1時(shí),g(x)的值域?yàn)閇loga6,loga2]
由(Ⅰ)知f(x)∈[4,5],
∵任意的x0∈[2,4],總存在x1∈[0,3],使得f(x0)=g(x1)成立,
當(dāng)a>1時(shí),{loga24loga65,解得214≤a≤615,
當(dāng)0<a<1時(shí),{loga64loga25,此時(shí)無解,
綜上所述a的取值范圍為[214615]

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義證明,考查分類討論思想轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生解決問題的能力,屬于中檔題.

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