Question

若斜率為k的兩條平行直線(xiàn)l，m經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)C的端點(diǎn)或與曲線(xiàn)C相切，且曲線(xiàn)C上的所有點(diǎn)都在l，m之間（也可在直線(xiàn)l，m上），則把l，m間的距離稱(chēng)為曲線(xiàn)C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．
（1）若曲線(xiàn)C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲線(xiàn)C：y=x³-x（-1≤x≤2），求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式d（k）．

Answer 1

解：（1）∵y=2x²-1（-1≤x≤2）的端點(diǎn)A（-1，1），B（2，7）
∵y′=4x，設(shè)切點(diǎn)M（x₀，）
∴4x₀=-1即，切點(diǎn)M（-，），
∴當(dāng)k=-1時(shí)，與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)只有一條，
結(jié)合題意可得，兩條平行直線(xiàn)中一條與曲線(xiàn)曲線(xiàn)C：y=2x²-1（-1≤x≤2）相切，另一條直線(xiàn)過(guò)曲線(xiàn)的端點(diǎn)B（2，7）
∴平行的兩條直線(xiàn)分別為y-7=-（x-2），y+
即x+y-9=0，
由兩條平行線(xiàn)間的距離公式可得，d==

（2）曲線(xiàn)C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端點(diǎn)C（-1，0），D（2，6），設(shè)切點(diǎn)N（a，a³-a）
∴y′=3x²-1
∴k=3a²-1＞2時(shí)，可得a＞1或a＜-1，且
∵-1≤a≤2∴1＜a＜2，即兩平行線(xiàn)中的一個(gè)與直線(xiàn)相切與N，且切點(diǎn)x＞1，另一條直線(xiàn)過(guò)A（-1，0）
此時(shí)兩直線(xiàn)方程y=k（x+1），切線(xiàn)方程y-（a³-a）=k（x-a）
即kx-y+k=0，kx-y+a³-（k+1）a=0
兩平行線(xiàn)間的距離d（k）==

分析：（1）y=2x²-1（-1≤x≤2）的端點(diǎn)A（-1，1），B（2，7），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得y′=4x，設(shè)切點(diǎn)M（x₀，），結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)k=-1時(shí)，與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)只有一條，另一條直線(xiàn)過(guò)曲線(xiàn)的端點(diǎn)B（2，7），寫(xiě)出兩直線(xiàn)方程，利用兩平行線(xiàn)的距離公式可求d（-1）
（2）曲線(xiàn)C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端點(diǎn)C（-1，0），D（2，6），設(shè)切點(diǎn)N（a，a³-a），由y′=3x²-1可得k=3a²-1＞2時(shí)，可得a＞1或a＜-1，且，則可得兩平行線(xiàn)中的一個(gè)與直線(xiàn)相切與N，且切點(diǎn)x＞1，另一條直線(xiàn)過(guò)A（-1，0），寫(xiě)出直線(xiàn)方程，可求
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，主要考查了直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵