【答案】
分析:(Ⅰ)由函數(shù)F(x)=|2x-t|-x
3+x+1,去絕對值符號,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求單調(diào)區(qū)間,
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的討論的結(jié)果,可知函數(shù)圖象的變化情況,可知方程F(x)-k=0恰有兩解,求得實數(shù)k的值.
解答:解:(Ⅰ)F(x)=|2x-t|-x
3+x+1=
∴F'(x)=
由-3x
2+3=0得x
1=-1,x
2=1,而-3x
2-1<0恒成立,
∴i)當
<-1時,F(xiàn)(x)在區(qū)間(-∞,-1)上是減函數(shù),
在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù).
ii)當1>
≥-1時,F(xiàn)(x)在區(qū)間(-∞,
)上是減函數(shù),
在區(qū)間(
,1)上是增函數(shù),在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù).
iii)當
≥1時,F(xiàn)(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).
(II)由1)可知
i)當
<-1時,F(xiàn)(x)在x=-1處取得極小值-1-t,
在x=1處取得極大值3-t,若方程F(x)-m=0恰有兩解,
此時m=-1-t或m=3-t.
ii)當-1≤
<1,F(xiàn)(x)在x=
處取值為-
+1,
在x=1處取得極大值3-t,若方程F(x)-m=0恰有兩解,
此時m=-
+1或m=3-t.
iii)當
≥1時,不存在這樣的實數(shù)m,使得F(x)-m=0恰有兩解.
點評:考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導數(shù)與方程的綜合題,需要對參數(shù)進行分類討論.屬難題.