Question

（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。

（1）求，的值；

（2）如果當，且時，，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），。（Ⅱ）k的取值范圍為（-，0]

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，可知f’(1)=- ,f(1)=1,進而得到參數(shù)a,b的值。

（2）構造函數(shù)，對于參數(shù)k分類討論得到參數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）

    由于直線的斜率為，且過點，故即

                           解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

                。

考慮函數(shù)，則

。

(i)設，由知，當時，。而，故

當時，，可得；

當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0

從而當x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）設0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而

h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設矛盾。

（iii）設k1.此時（x）>0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設矛盾。

綜合得，k的取值范圍為（-，0]

考點：本試題主要考查了導數(shù)的幾何意義的運用，以及寒素的最值的運用。

點評：解決該試題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義得到參數(shù)a,b的值，得到解析式。

要證明不等式恒成立，要構造整體的函數(shù)，利用導數(shù)判定單調(diào)性得到參數(shù)k的范圍。