Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³，若0≤θ＜

π

4

時(shí)，f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．（0，1）
• B．（-∞，0）
• C．（-∞，

  1

  2

  ）
• D．（-∞，1）

Answer 1

分析：根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)f（x）=x³為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可將f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為m•tanθ＞m-1恒成立，結(jié)合0≤θ＜

π

4

，進(jìn)而可化為m＜

-1

tanθ-1

恒成立，求出

-1

tanθ-1

的最小值，可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)
故f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立可化為
f（m•tanθ）＞-f（1-m）=f（m-1），即m•tanθ＞m-1恒成立
∵0≤θ＜

π

4

，故0≤tanθ＜1，-1≤tanθ-1＜0
故m•tanθ＞m-1恒成立可轉(zhuǎn)化為m＜

-1

tanθ-1

令t=tanθ．（0≤t＜1），則函數(shù)y=

-1

t-1

在[0，1）上為增函數(shù)
即t=tanθ=0時(shí)，y=

-1

t-1

=

-1

tanθ-1

取最小值1
故m＜1
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1）
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)恒成立問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．