Question

若正實數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：原不等式恒成立可化為xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，由基本不等式結(jié)合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，解關(guān)于a的不等式可得．

解答： 解：∵正實數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
變形可得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2

2xy

，
∴4xy=x+2y+4≥4+2

2xy

，
即2(

xy

)2-

2

•

xy

-2≥0，解不等式可得

xy

≥

2

，或

xy

≤-

2

2

（舍負(fù)）
可得xy≥2，要使xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，只需2≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，
化簡可得2a²+a-15≥0，
即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥

5

2

，
故答案為：(-∞，-3]∪[

5

2

，+∞)

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，涉及恒成立問題，變形并求出需要的最小值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．