Question

如圖，三棱柱ABC=A₁B₁C₁的側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，A₁A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分別是AB、A₁A的中點．
（1）求證：A₁B⊥CM；
（2）求直線BN與平面A₁BC所成角正弦值．

Answer 1

（1）證明：∵M(jìn)為AB的中點，AC=CB，∴CM⊥AB，
又∵AA₁⊥面ABC，CM?面ABC，
∴AA₁⊥CM
∵AB∩AA₁=A，∴CM⊥面AA₁B₁B，
∵CM?面AA₁B₁B，
∴CM⊥A₁B-------------（6分）
（2）解：過N作NH⊥A₁C交A₁C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA₁C₁C
∴BC⊥NH，
∴NH⊥面A₁BC，則∠NBH為所求的角
在直角△NBH中，--------------（12分）
分析：（1）先證明CM⊥面AA₁B₁B，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可得到CM⊥A₁B；
（2）過N作NH⊥A₁C交A₁C于H，則∠NBH為所求的角，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查線面垂直，考查線面角，掌握線面垂直的判定，正確作出線面角是關(guān)鍵．