Question

（本小題滿分12分）

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.

(Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行時(shí)間應(yīng)為多少小時(shí)？

(Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

 

Answer 1

【答案】

（I）希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行時(shí)間為1/3小時(shí).

（Ⅱ）小艇航行速度的最小值為海里/小時(shí)。

【解析】

試題分析：（1）先假設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S，根據(jù)余弦定理可得到關(guān)系式S=

整理后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定答案．

（2）先假設(shè)小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．

（I）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則

,  故t=1/3時(shí)，S _min =，

答:希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行時(shí)間為1/3小時(shí).

（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在B處相遇

由題意可知，（vt）² =20² +（30 t）²-2·20·30t·cos（90°-30°），

化簡(jiǎn)得：

由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2

所以當(dāng)=2時(shí)，取得最小值，

即小艇航行速度的最小值為海里/小時(shí)。

考點(diǎn)：本試題主要考查了解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能結(jié)合余弦定理和函數(shù)與不等式的思想求解最值。