Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF．若有λ∈（7，16），則在正方形的四條邊上，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立的點(diǎn)P有（　�。﹤�(gè)．

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 0

Answer 1

分析 由題意可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2，分類(lèi)討論P(yáng)點(diǎn)的位置，分別求得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的范圍，從而得出結(jié)論

解答 解：由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=2AE，CF=2BF，
可得DE=4，AE=2，CF=4，BF=2．
若P在AB上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AE}）（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BF}）=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}∈[-5，4]$；
若P在CD上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DE}）（\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CF}）=\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CF}∈[7，16]$；
若P在AE上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PE•（}\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}）=\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{BF}∈[0，4]$；
同理，P在BF上時(shí)也有$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[0，4]$；
若P在DE上，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PE•（}\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF}）=\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{CF}∈[0，16]$；
同理，P在CF上時(shí)也有$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[0，16]$，
所以，綜上可知當(dāng)λ∈（7，16）時(shí)，有且只有4個(gè)不同的點(diǎn)P使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．