已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率e=,直線l過A(a,0),B(0,-b)兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線l的距離是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn),若·=-23,求直線m的方程.
(1)-y2=1;(2)y=x-1.
【解析】本試題主要考查雙曲線的性質(zhì)和方程的求解和運(yùn)用,并利用向量為工具,求解直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
解:(1)依題意,l方程+=1,即bx-ay-ab=0,由原點(diǎn)O到l的距離為,得==,
又e==,∴b=1,a=. 故所求雙曲線方程為-y2=1.
(2)顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為y=kx-1,
則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)
是方程組y=kx-1,-y2=1的解,
消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①
依題意,1-3k2≠0,由根與系數(shù)關(guān)系,
知x1+x2=,x1x2=
·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1=-+1=+1.
又∵·=-23,
∴+1=-23,k=±,
當(dāng)k=±時(shí),方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
所以所求直線方程為y=x-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( )
A.[1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012年福建省福州市高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),若雙曲線上存在一點(diǎn)P,使=,求雙曲線的離心率的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:選擇題
已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.[1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省蚌埠二中2013屆高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( )
A.[1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
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